\subsection{对称性的含义}
对称性的含义有广义和狭义两种：从广义来说，对称性意味着和谐、规律、秩
序和必然。它与杂乱无章及不可预测相对立，用Einstein的话来说，“自然界最不可
理解的就是它竟然是可以理解的！”事实上，追求和理解自然界最深层次的对称性一
直是物理学发展的主旋律之一常常是对某种基本对称性的信念，激励人们去发展
物理学，Weyl说：“对称性是这样一种意念，人们长年累月地试图以它去理解并创
造秩序、美和完善.”就狭义来说，给定体系的某种对称性是指某种不可分辩性，是
对某种属性的不可观测，就是说，在某种操作或变换下体系依然保持不变，表现为
体系Hamilton量在这些变换下保持不变，比如，任何孤立体系的绝对空间坐标位置
是不能观测的，这种不能观测性表现为孤立体系Hamilton量在空间平移操作（平移
可分辨性将体现为体系Hamilton量在这些变换下的不变性等.

一般而言，不同体系具有的对称性并不相同，对任何体系，使它保持不变的全
体对称变换集合必定构成一个群—体系的对称群。因为，接连施加两种对称变换，
总效果依然使体系保持不变，就是说，仍然是一个对称变换：对称变换的逆变换仍
是对称变换；存在恒等变换—“不进行操作”也是一种特殊的对称操作。这三点
性质正是全体对称变换构成体系的对称群的充要条件。

研究对称性的意义在于：
\begin{enumerate}
    \item 构造理论，研究对称性，找出基本对称性，
    \item 提升物理直觉，提高物理理解，有利于迅速抓住问题的要点，简化
          问题的提法
    \item 简化计算，提高计算效率。不经过求解Schrodinger方程而可以得到态及本征值
          的某些知识，这包括分析能级特征、简化矩阵元计算、给出禁戒规则等。
\end{enumerate}

\subsection{量子力学中的对称性}
无论就对称性的种类和程度来说，量子力学中的对称性都高于经典力学中的对
称性，经典力学中存在的对称性量子力学中也都对应存在，而量子力学中还存在一
些经典力学中所没有的对称性，前者如时空均匀、各向同性的对称性，后者如全同
性原理、同位旋对称性，然而，个别对称性除外，弱等效原理（在引力场中运动的
物体，其质量不进入问题，以致对运动轨迹的研究成为一个纯几何问题）这种对称
性在经典力学中存在，但在量子力学中被破坏，只当向经典过渡时才又逐渐显现出
来，这是说，弱等效原理被量子涨落所破坏.

量子力学中常见的对称性有一些是普遍存在的基本对称性，有一些则是特殊体
系才具有的特殊对称性，从另一角度来说，有一些是严格成立的对称性，有一些则
是近似成立的对称性，量子力学中的时间均匀性、空间均匀性、空间各向同性、同
类粒子的全同性原理（或交换对称性）是普适的、严格成立的基本对称性：而空间
反射不变性、时间反演不变性对大部分情况都严格成立，可算是基本对称性，但毕
竟不是普适的，同位旋对称性，这是一个适用范围很广的近似对称性，此外，还有
各种特殊体系的各种特殊转动、反射对称性，它们属于这些体系的特殊对称性，比
如中心场问题的空间旋转对称性、谐振子的空间反演不变性、各类晶体的各种特殊
空间转动和反射对称性等，这些都属于这些特殊体系的特殊对称性.

按通常说法，上面这些对称性及其相应的变换划分为两类：第一，根据相应变
换是连续还是离散的来分类，比如，空间反射变换、时间反演变换、全同粒子置换、
晶体对称变换等均属于离散变换，其余属于连续变换，第二，按照对称性涉及的是
体系内票属性还是外在属性分类，空间平移、时间平移、空间旋转这三个对称性是
体系所处时空性质对体系运动行为的要求（时空特性对孤立体系Hamilton量的要
求）。严格说，由此得出的对称性并不是体系内票属性，而是时空固有属性在体系运
动行为上的体现（参见下节叙述）。与此相反，全同粒子置换对称性和同位旋空间旋
转对称性等，是体系内票对称性，反映体系组成粒子的内票属性或体系内部动力学
性质，而空间反射、时间反演对称性，根源于体系内部相互作用性质，反映了体系
内部动力学属性.

\subsection{对称性与守恒律及守恒量}
上面已经触及了对称性和守恒律的关系，现在对它作一简要研究，一个体系
的对称变换U既然能使体系物理性质保持不变，就应当使体系的Hamilton量保持
不变，
\begin{equation*}
    UHU^{-1}=H
\end{equation*}
由Wigner定理可以断定，U一定是个么正或反么正的变换”

\begin{note}
    但反过来不能说：一个么正变换一定是体系的对称变换，因为许多么正变换会改变体系的Hamilton量的形
    式。例如，虽然空间转动总是么正变换，但却只有儿种特殊的转动，才使离子立方晶体NaCl的Hamilton量保持不变
    它们属于NaCl晶体的对称变换
\end{note}

首先,假定对称变换$U$是连续的.由于不存在连续的反么正变换,只需研究么正情况.
以前说过,一个连续变化的么正变换$U$总可以表示为

\begin{equation*}
    U=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} a \Omega}
\end{equation*}

这里$\Omega$为Hermite算符; $\alpha$为连续变化的实参数.

\begin{equation*}
    [H, U]=0
\end{equation*}
或写为

\begin{equation*}
    \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-\mathrm{i} \alpha)^n}{n!}\left[H, \Omega^n\right]=0
\end{equation*}

由于$\alpha$可取连续值,若取$\alpha$足够小即得

\begin{equation*}
    [H, \Omega]=0
\end{equation*}

于是得到
\begin{theorem}[][Noether第一定理]
    \textbf{Noether's first theorem}\quad 如果连续变换$U$是量子体系的对称变换,
    则$U$的生成元Hermite算符$\Omega$是个守恒量.或者说,当量子体系存在一种（连续变化）对称性,
    就相应地存在一个守恒律和守恒量.
\end{theorem}


其次,假定对称变换$U$是分立的.这时么正和反么正的情况都存在,它们都应当和体系Hamilton量对易,即存在

$[H, U]=0
$

在量子力学范围内,这包括么正的空间反射变换和反么正的时间反演变换两种.
其中,空间反射变换$U$又是Hermite的,于是它直接就是守恒的力学量——宇称.
但对于时间反演变换，由于它的反线性性质而不存在相应的守恒量。

总之,一般说来,当体系存在一种对称性时,体系必定相应具有某种有规律、有秩序的东西,但并非总是一个守恒的力学量.